Задача о катушке

Катушка, лежащая на горизонтальном столе, состоит из среднего цилиндра радиусом и двух крайних цилиндров радиусами . На ее среднюю часть намотана нерастяжимая нить, отрезок которой горизонтален. В момент времени точку нити начинают тянуть с постоянным горизонтальным ускорением , направленным перпендикулярно оси катушки. При этом она начинает катиться без проскальзывания так, что ее ось не изменяет своей ориентации. Через какое время длина горизонтального участка нити изменится в раз, если начальная длина отрезка была равна ?

Решение

По условию задачи при перемещении точки нити катушка движется по плоскости, сохраняя ориентацию своей оси. Следовательно, считая, как это обычно и делается в подобных задачах, катушку твердым телом, ее движение можно представить как сумму поступательного движения со скоростью , равной скорости движения оси катушки, и вращения с угловой скоростью вокруг этой оси. Поскольку качение катушки происходит без проскальзывания, то . Из сказанного следует, что в тот момент, когда скорость оси катушки равна , скорость точки должна быть равна , а потому при движении катушки с течением времени длина отрезка нерастяжимой нити должна уменьшаться.

Учитывая, что по условию задачи отрезок нити остается горизонтальным, а первоначально покоившуюся точку перемещают с постоянным ускорением , коллинеарным нити, искомый промежуток времени должен удовлетворять уравнению: , где — ускорение центра катушки. Из этих уравнений следует, что , и с учетом условия интересующий нас промежуток времени равен

Ответ

.